什么是牌效率

牌效率给切完之后留下的 13 张排序。次序是固定的。向听更低的赢。向听相同，进张张数更多的赢。张数相同，进张种类更多的赢。这段距离背后共同的和牌形，是四组面子加一对。七对和国士只作为另一条距离进来，印出来的是最小值。

番、宝牌和安全站在这三个键旁边。它们随规则变。本站的张数只看手牌：4 减去手里已经有的张数。本站没有期望值引擎，也没有放铳模型。桌上看得见的牌，要你自己再减一次。

排序阶梯

每一行 14 张，都是一次候选切牌。排序读的是剩下的那 13 张。

改良是另一份清单。它保持同样的向听，并提高种类数。默认排序从不读它。三个键都打平的两刀，就保持平局。待牌形、役、宝牌和危险，用来在这场平局里面选择，也用来有意离开这架梯子。

向听的尺子

向听是走到听牌之前，还要几次成功的换牌。数法，包括四面子加一对、七对和国士上的最小值，在向听数的数法。

听牌是 0，和牌是 −1

和成的 14 张是 −1。Li 与 Yan 在 Let's Play Mahjong!（2019，arXiv:1903.03294）里，把不足数 0 定义成那副完成的 14 张：四组面子加一对。Yan、Li 与 Li（2021，arXiv:2108.06832）接着把加进一张就能完成的 13 张叫作不足数 1，并且把这个词等同于日本的向听。普通路径就是本站印出的最小值时，他们的 0 是本站的 −1，他们的 1 是听牌。把这手牌推进一步的那些牌，是同一批牌。一路数到和牌的替换数，比本站的向听高一步。练习和分析器用的是上面这张表。

这个数没有规则开关。立直可以在最小值已经搜索的那三条门前路径上和牌。国标另有分析器不搜索的牌型，8 番起和之下，结构上的听牌仍然可以和不了。川麻在点明缺门之后，用留下的花色里的面子和对子来量距离。印出的三门数字，在这门缺掉之前，是抽象的数。

先看向听

先读距离，再看那张很长的清单。听牌上的 8 张活张，压过一向听上的 36 张。

456789万是两组顺子，345筒是第三组。条子 278 和一对白，是这一刀会改动的部分。切掉 2条，留下两面 78条。切掉 8条，留下 27条，这副形还不是搭子，接受清单就在条子和白上铺开。铺开之后仍然是一向听。梯子收下这段短的听牌。

2条和 7条各持有一张，所以这两种各贡献三张。白持有两张，所以它贡献两张。这些宽度都不改第一键。同一组比较还会再出现：一刀已经走到听牌，旁边一刀仍是一向听，清单却很长。结果是听牌那一行。

只数活张

进张是每一种能降低向听的牌。张数合计在进张数计算。向听为 0 时，同一张清单就是待牌。这些形的名字在听牌型详解。

1. 14 张上，先丢掉候选，再量剩下的 13 张。
2. 读向听。
3. 测试手里少于四张的每一种。能降低向听的种类就是进张。
4. 只对这些种类，加上 4 减去已经持有的张数。

持有四张的种类从不测试。手里已有的张数，只减少它自己那种的剩余。另一种不受影响。

6789万是延单。摸进 6万，做成对子 66万和顺子 789万。摸进 9万，做成顺子 678万和对子 99万。每一端已经持有一张，所以张数是三加三，空两面才会是八张。中的刻子在任意一侧都是立直的役牌，三元刻在国标里也是番。图注是宽度。番的合计不在这句里。川麻没有字牌，所以这 13 张不是川麻的和。

四张 9万把这种挡住，即便有个关于形的故事好像还想要另一张 9万。西是 ×3，因为手里有一张西。7条是 ×2，因为这对已经持有。这 23 种改良坐在这 13 张外面。它们把向听留在 1，只改下一档的种类数。

每种接受只计一次

一张牌同时补上两块，仍然只是一种。记一次，再乘上还剩的张数。靠张画出这个块。两种读法都提到它，梯子也不会把这一行算两次。

两种读法共用这 13 张。对子 77万加两面 67万，等 5万和 8万，发的刻子是一组面子。刻子 777万加单骑，等 6万。并集是三种。6万属于单骑那种读法，手里已经有一张，它占单独一行，是 ×3。先加上单骑、再把 6万加一次，就会多出一张并不存在的牌。

顺子 456万加对子 55万，再加一对西，是 5万和西上的双碰。刻子 555万加坎张 46万，西当雀头，只等 5万。两个故事都接受 5万。手里已经有三张 5万，所以这种共用的牌只贡献一张。西贡献另外两张，而且只有双碰用到它。种类这一键看见两种，三种是把同一张 5万数了两遍。

种类打破张数的平局

第三键只在向听已经打平、张数也已经打平之后才跑。张数差一张，比较在第二键就结束。张数差为零，才轮到种类。

6万、3万和南是同一段距离，也是同样的 19 张。6万有六种接受，另外两刀有五种。多出来的这一种，就是全部的决定。掉到 15 张、或掉到 12 张的切法，在第二键上就已经结束，种类还没有上场。

领先的两刀在每一个键上都打平，所以梯子不会在 2万和 5万之间挑一张。往下一级，6筒和 8筒都是一向听上的 12 张，6筒的四种胜过 8筒的三种。4筒的 58 张是真的，对排序没有用：它们是二向听。下一节把这个陷阱单独拿出来。

更差向听上更大的数会输

若只记住一种失败，就记住这一种。二向听的一行可以印出一个看起来像牌墙里大半的数。它仍然输给只有十几张的一向听。

四刀在一向听上打平。每一刀留下三种、12 张。4筒和 7筒印出向听 2 上的 58 张、17 种。第一键结束这场比较。表上最大的张数，就是输掉的那一行。

切 9筒，留下 23467万，也就是顺子 234 加两面 67，所以这副听牌是 5万和 8万，8 张，2 种。切 7万，留下 35 张的宽一向听。8 张不到那张清单的四分之一，它仍然排第一。走到向听 0 的速度，才是排序交出的东西。宽度用来在几条通往那里的路之间选择。

打平的切法，以及每刀都已听牌

一旦每个候选都是听牌，向听就没有剩下的话。先张数，再种类，给这些待牌排序。这些也打平时，待牌质量是一层覆盖。对顺子手，共同的感觉是：锁死之后，两面比坎张、边张或单骑更从容。立直的平和为两面付番。这个番不带到国标，也不带到川麻。张数会带过去。

任意一刀都留下没动过的 34567万，再加一组条子顺子、456筒，和一对南。待牌是三面张 2万、5万、8万。一张 5万已经在手里，所以 11 张是 4+3+4。两张舍牌在向听、张数、种类和实际待牌上都相同。待牌质量拆不开它们。花色的危险可以。梯子不会。

中的刻子、一对 5筒、顺子 456条，以及六张万子连张，让每一次舍牌都有一张能完成的牌。排序仍然有赢家：2万和 7万，各自是三种、11 张的待牌。更窄的听牌行仍然是听牌，排得更低。「全都准备好了」描述的是第一键。它解释不了为什么可以跳过第二键。

切掉一张南，留下南的刻子、顺子 789筒和 456条，以及 3456万。这四张连着是延单：3万和 6万，每一端已经持有一张，三张加三张。切 3万或 6万仍然是向听 0，接受清单是空的。这个形要靠另一张南来完成，四张南已经都在手里，所以那种从不测试。零张的听牌排在六张的听牌后面。键选中南之后，覆盖层是你实际锁住的待牌：两种的延单。

改良牌不是接受

接受降低向听。改良不降低。在本站，改良是一摸保持向听、并提高进张种类数的牌。只在同样的种类里加张数的一摸，清单里没有。只把以后的待牌变得更好、却没有新种类的一摸，清单里也没有。国标的教学词「改良进张」比这张清单更宽。这里的机制是种类数。它不进张数合计，也不进默认排序。

这 46 张是把这 13 张从一向听推向听牌的种类。它们是第二键。把它们叫成「改良」，两份清单就混在一起。切的是南，因为那一行赢了梯子，旁边那份清单变长并不是原因。

接受是 3万、6万、9万、3筒、6筒和东。4筒和 5筒已经作为 45筒在手里。再摸进其中任意一张，向听留在 1，种类数从 6 走到 14。它们不在这 20 张里。因为形喜欢它，就把 4筒算进进张的人，是把一张牌从改良清单搬到了接受清单上。

接受是 2筒、5筒、东和南，12 张。唯一的改良是 7万。摸进它，距离不变，并多出第五种。其余的牌，要么降低向听，要么清单不记，要么就是这四种接受之一。改良清单很短，是常态。空的也是常态。

对着活牌墙重算

练习和分析器打的是只看手牌的数。副露、舍牌和宝牌指示牌，是牌桌上的重算。从那种还剩的四张里，减去看得见的一张。一种已经没有剩余，就离开清单。看不见的张仍可以在别家手里或王牌里，所以重算出来的数，是你还能摸到的上界，分析器并没有为此另开一种模式。

34567筒是五张连张，所以待牌是三面张 2筒、5筒、8筒。唯一已经持有的待牌是 5筒，所以那种是 ×3。一对 8条是另一门，所以 8筒的待牌仍是四张。这次重算花掉四张 2筒里的两张，以及四张 8筒里的三张。三种都还在。四张 2筒都亮在桌上，那种就离开清单。张数和种类数都会下降。

只看手牌时宽度相同，花色不同。45678筒是三面张。第二次重算补上第一次没写的那条边：一种剩余张数为零，就是没了，零张仍然算一种会把种类数留住。减法在牌桌上做。印出的 11 留作只看手牌的基线。

宝牌和役盖过宽度

梯子不给宝牌定价，也不给番定价。立直给门前手一个役的办法，是宣告立直。默听是门前、又没有宣告的和，需要形里面自带一种役。赤五和宝牌指示牌，对张数没有固定的兑换。三个键这么说时，分析器仍然标出更宽的那一行。你可以有意留下宝牌。你应该知道自己放弃了哪一个键。

发是单张，旁边是 2345万、45678筒，以及拆开的条子 1279。最佳行把它打出去，停在二向听，49 张。指示牌让发成为宝牌，因而留下它，就是有意去拿某一行更低的。这个代价是真的，而且没有标价。这里没有公式把一张宝牌换成若干张进张。

最佳切牌保住两副条子搭子 12条和 89条，并打开筒子的连张。这些幺九挡住立直的断幺九。切掉它们，向听仍是 1，相对 20 张那一行少 7 张、少 2 种。断幺也是国标的一番型。梯子仍然不会为它付钱。只有这种役或这种番就是你正在打的计划时，才去拿更薄的那一行。

这五刀各自留下两种、8 张的听牌，并且保住发的刻子。它们彼此打平。切掉一张发是更差的听牌，所以张数已经在保护这组刻子。真正的平局里，若有一刀拆掉计分的对子、另一刀把它留下，你仍然需要立直役牌这层覆盖。这副牌上，键和役指向同一边，五刀领先的仍然彼此打平。在它们之间，按你想锁住的待牌、以及你愿意打出的那张来选。平和为两面付的番只属于立直。五刀都是两面，所以平和也拆不开它们。

防守盖过宽度

别家可能已经听牌时，你打出的那张就重要。排序不管别的座位。它会把窄的听牌排在宽的一向听上面，也会让三张并不同样安全的字牌打平。见何切思路。印出的张数留着。拒绝它是判断，第四个键并不存在。

切 8条，留下 2万和发上的双碰，两张加两张。发是立直的役牌。2万这张待牌需要自己的役，宣告立直能供给，默听的手可能没有。切 2万拒绝这副听牌，留下 41 张的一向听。若 8条是危险的舍牌，防守就拿走更慢的那一行，并且把这句话说出来。梯子的赢家仍然是 8条。

三张字在每一个键上都相同。每一刀都是一向听、8 张、3 种，另外两张字留在接受清单里，和 5条一起。排序里没有任何东西点名最安全的舍牌。现物、筋，以及已经打出的字，是牌桌上的事实。在这场平局里面用它们。为了打得更安全而打出一张数牌，前两个键就交出去了，这一刀不再免费。

振听拿掉荣和

立直的振听挡住待牌上的每一次荣和，包括你从未打出过的那种。自摸仍然能和。只看手牌的清单仍然印出每一种。振听不是国标的规则，也不是川麻的规则。

78万是两面。两种待牌都没有持有，所以每种四张。中的刻子让立直在任意一侧都能荣和。打出 9万，6万上的荣和也一起关掉。自摸仍然合法，门前自摸仍可以拿门前清自摸和当役。页面上的八张，不会因为一半荣和路径关掉就缩成四张。

45667万等 5万和 8万。一张 5万已经持有，所以张数是三加四。白的刻子是立直的役牌。打出任意一张待牌，两侧荣和都振听。清单仍显示 5万和 8万，因为结构距离没有变。振听从你自己的牌河上读，种类数里读不到它。

七对和国士决定下限

印出的向听，是普通组数、七对和国士里的最小值。特殊路径更近时，那条路径决定每一行。七对子是立直的役。国标计七对，也把完成的十三幺计成高番牌型。分析器不搜索全不靠、组合龙和七星不靠。川麻的牌桌通常只以四组面子加一对和牌。满手字牌不是川麻的例子。

五对花色牌，四张单张字。切掉任意一张字，留下三种活着的成对牌，每种三张，9 张、3 种，一向听。在那 13 张上，七对距离是 1，普通的四面子距离是 3。印出的数是对子这条路径。

十二种幺九都在，缺的是发，所以发是 ×4，其余是 ×3。3条不是国士牌。它就是这手停在一向听、走到听牌还差一步的原因：摸进发，打出 3条。40 张是这种特殊牌型的宽度。它没有说，这些牌里的每一张，在川麻或断幺的计划上都是有用的一摸。

六对花色牌，加上东和中。切东，留下中上的单骑，3 张，1 种。切中，留下东上的单骑。在那 13 张上，对子距离是 0，普通的四面子距离是 3，所以这副听牌只存在于对子路径上。拆掉一对，就留下一向听。梯子跟随最小值。

五块是提议，排序来决定

五块理论找的是大约五块：四个面子位子，再加一个对子候选。剩下的就是浮牌。这个架子是日本教学里、面向四面子加一对这种和牌的标准讲法。它提议一刀。三个键可以收下它、让它打平，或拒绝它。两块共用的一张仍然只是一种，上面的 6万和 5万就是这样。

一套能用的块是：坎张 13万、坎张 24筒、两面 67筒、顺子 456条、边张 89条，以及一对白。8万哪一块都不在。排序唯一的最佳切牌就是这张浮牌，二向听，20 张，5 种。边上的 1万和 3万是更差的行。这里架子和梯子点的是同一张舍牌。

打掉孤张 8万之后，条子这边多出一对 9条。五块仍然想让弱的 13万边张离开。梯子同意 1万和 3万是最佳，并且把它们和 2筒、4筒、7筒、8条打平，全部是 20 张、6 种。提议不再是唯一答案。这场平局里的任意一张，都可以按你自己对形的理由来切。切 9条，也就是这对子，是更差的行。「我有一对 9条可以多余」找错了多余的那张。

一向听的形有多宽

立直课堂给一向听的形起名，并且常常把常见宽度排成：靠张，然后无雀头，然后完全，然后余张。完全是一对，加上两处灵活的搭子，每一种接受都走到听牌。这个形在一向听打牌选择里量。这个次序是约定，定理里没有这一条。下面四手是另一组：余张浮牌、无雀头的连张、字牌浮牌的靠张，以及七张的连张。它们的张数排不成靠张领先于无雀头。

123万、456万和 789筒已经完成。对子是 2条。东和白是多余的。接受是 2条×2、东×3、白×3。摸进东或白，做成第二对，打出另一张字，留下双碰。摸进 2条，做成刻子，打出一张字，留下另一张上的单骑。直接清单里没有任何东西去搭一副新的两面。8 张是窄的那一头。这张多余的字，也是手牌再回到 14 张时、安全计划想打出去的那张。

没有对子，也没有字。23456万和 45678筒各自是一组顺子加一副搭子，678条是一组顺子。补上搭子，向听下降。把搭子里的一张配成对，向听也下降。接受从万子 1 走到 7，从筒子 3 走到 9：十四种，四十六张。清单里没有任何一摸能把向听留在 1、同时又增加一种。宽度是真的。立直的读法仍然预期，其中一些配成对的接受，以后会落到单骑上。本页不给每一种接受打分。待牌的名字在听牌那一页。

这是靠张的骨架：三组顺子、一对、两张浮牌。对子是南。浮牌是白和中。直接接受是南×2、白×3、中×3，和那手余张一样是 8 张。数牌浮牌才是课堂把靠张叫作宽的原因。字牌浮牌靠不上 123万、456筒或 789条，所以接受清单仍然窄。这 27 种改良是靠上去的那些牌：向听留在 1、并提高种类数的摸牌。它们不是进张。这 13 张上的原始张数是 8。类名暗示的那个宽数，坐在梯子外面。

2345678万是七张连着的牌。接受覆盖每一种万子，再加上 6条×2 和东×3。十一种，三十四张。这段连张宽，是因为里面有好几处可以变成面子加搭子，一端上并没有单独坐着一副完整的两面。另外十七种把向听留住，并提高种类数。在这组量过的牌上，无雀头的接受领先（46），连张其次（34），两手字牌浮牌在 8 张上打平。这是一个数。它是这四手的计数，课堂排名描述的是另一组手牌，这份计数动不了那个约定。

字牌、边张，以及复杂的听牌

孤张字和幺九搭子，是常见的早段选择。到了一向听，同一组比较已经是一个数。到了听牌，一手牌可以在许多不同的切法之后都已准备好，键仍然给这些待牌排序。

89万是边张。它的填张 7万不在手里，所以那种是四张。一对 3条贡献两张。一对白贡献两张。边张的活张是这张三元的两倍。立直的计划若因为刻子会成为役牌而偏好白，就是有意去拿更薄的那种。国标可以同样为了番而偏好白。接受清单里已经有这三种。打点不在这张清单的排序里。

好几刀已经是听牌。9万领先。它留下的 13 张保住 45678万，待牌是三面张 3万、6万、9万，11 张，3 种。更薄的听牌切法仍在表上，输在张数或种类上。「这手怎么切都准备好了」只说完了前半句。又准备好、又宽，排在又准备好、又窄的前面。

34567万是玩家有时和延单归在一起的五张连张。在本站，一旦其他各组和一对都完成，它产出的待牌是三面张：2万、5万、8万。切白，把这段连张单独留下，锁住这三种，11 张。切连张的一端，3万或 7万，是听牌，6 张、2 种。切中间的一张，4万或 6万，是听牌，3 张、1 种。强的那一刀是这张字。连张的中段留在手里。

规则侧记

侧记在数字打平时改舍牌，或者改你被允许去打的那段距离。每一则侧记只带进它点名的那种规则。

立直

和牌需要一种役。宣告立直给门前手供给一种，并冻住这些牌，所以锁住的待牌就是你实际会有的待牌。默听需要形里面自带一种役。宝牌和赤五仍然没有标价。振听挡住清单仍然印着的每一次荣和，自摸仍然能和。七对和国士留在向听这个数里面。待牌的名字，以及平和为两面加上的番，在听牌型详解和立直麻将。上面那种形的宽度约定，是立直的教学。它下面的三个键是共同的。

国标

一张番表给这手牌计分。本站写的是最低 8 番。这个门槛之下的结构听牌不能和。门槛不同时，点明版次。见国标麻将。

加拿大国标麻将协会的 2020-07-16 讲义把梯子压成一种的两种摸牌分开。实质进张是在计分计划上缩短距离的一摸，组数下降只是其中一种情形。改良进张保持距离，并把待牌或以后的进张改好。本站的改良清单是第二个想法收窄成一次测试：向听相同，种类更多。只把坎张变成两面、却不增加种类的摸牌，这份清单不会标出来。

分析器仍然报告普通的最小值：四组面子加一对、七对，以及国士。它不搜索全不靠、组合龙、七星不靠，也不搜索 81 种番型的其余部分。那些距离你自己去打。立直和振听不带过来。一次吃或一次碰，可以买到门前梯子看不见的番型。门前手也可以是高番的计划。两种选择都允许在张数上让步。

川麻：缺门先走

成都式的血战到底，以及相近的牌桌。第一家和了之后是否继续、后和是否必须，房规不同。点明这张桌子。见四川麻将。常见牌组是 108 张，没有字牌。除非清一色另有说法，否则缺掉最薄的那一门。这门还留着，和牌就不合法。缺门选定之后，进张只活在留下的两门里。两面的接受仍然比边张和坎张宽。许多牌桌不允许吃。血战是否继续，以及流局时未听的家向听牌的家支付（查叫），都在排序外面。本站不替你定缺。三门都在的手，仍然只是抽象的四面子数。

万和筒是你能用来和的牌。条子是两张，1条和 3条，一副坎张，抽象的数喜欢它：打掉任意一张都是二向听，七十多张。在川麻的定缺里，必须走的就是这两张。合法的表于是从一向听那些行开始：2万、3筒、6筒以 15 张、4 种领先，5万和 8万以 8 张、2 种垫后。79 张那一行，描述的是一手你不被允许留下的牌。

一张多余的发，对上单种的听牌

最后一刀是同一架梯子，上面坐着一张计分的牌。现在就走到听牌，即便待牌是边张，也排在留着多余的三元、停在一向听的前面。

345678万是连张，234筒是顺子，89条是边张，白是对子。一张发是多余的。切掉它，留下只等 7条的听牌，4 张。切 9条，保住发，停在一向听，20 张、6 种。切 8条是同一段距离，清单更短。若发是宝牌，更慢的那一行就是你留下它的办法，代价是整整一步向听。梯子付这一步，把这张三元打出去。立直可以拒绝，并且应该说，拒绝的理由是宝牌，牌效率的三个键仍然指向发。

学习路线

1. 向听。 包括 −1 和 0 的尺子，在向听数的数法。在向听训练里练它。
2. 进张。 种类和只看手牌的张数，在进张数计算。在一向听训练里点出每一种，并在一向听切牌里按这个数来切。
3. 舍牌。 完整一刀上的梯子是何切思路。重复练习是何切训练。
4. 一向听。 听牌之前的最后一刀，包括本页留在那篇文章上的完全形，是一向听打牌选择。
5. 待牌。 向听 0 的清单作为一种形，是听牌型详解。
6. 先五块，再重叠。 浮牌在五块理论。共用的那张在靠张。
7. 你打的那张桌子。 打开立直麻将、国标麻将或四川麻将。一则侧记只带进它点名的那种规则。

离开四面子这个框架时，点明覆盖层，也点明规则。