向听数的数法

向听是一手牌走到听牌之前，还需要几次成功的换牌。本站上，0 表示已经听牌：再进一张就和。1 表示一张牌走到听牌。2 表示两张。已经和成是 −1。这个整数是牌效率的第一步。推动它的那些牌，以及这些牌还剩的张数，是进张。本页是这把尺子。它点出距离。它不给待牌的形排名，也不跑期望值引擎，也不跑放铳模型。

印出的数，是三条门前路径里的最小值：4 面子 + 1 对、七对、国士（十三幺）。分析器上没有规则开关。普通的组数会说还更远的手，可以印成 0，因为七对已经听牌，也可以印成 1，因为国士只差一步。这个最小值是不是合法的和，是另一句话，并且标明是立直、国标或川麻。

13 张上，问的是这个数。14 张上，分析器问切哪一张，每一行是剩下那 13 张的向听，以及只看手牌的张数。向听训练只发 13 张。本页的张数只看手牌：4 减去手里已有的张数。弃牌、副露、指示牌都不减。看得见的牌墙是旁算，写在进张那一页。

下面每一手都是门前。图注里的整数是分析器的。面子怎么拆，是你在牌上做的事。分析器返回一个数、牌面，以及张数。它不返回面子图、番的合计，也不返回合法和牌的标记。

这个数是什么意思

训练的按钮是 0 到 6。没有 −1 按钮，也没有 7 按钮。七对算在最小值里面时，13 张答 8 不会出现。本页量到的最差 13 张印出 6，训练判的就是 6。

另一套约定用相近的名字叫另一个整数。Li 与 Yan 在 Let's Play Mahjong!（2019）里把不足数 0 定义成一副完成的 14 张：4 面子加一对雀头。Yan、Li 与 Li（2021）把这个定义扩到 13 张：若加进某一张就能和成，不足数是 1，他们把这副 13 张叫作听牌。他们还写，不足数在日本麻将里就是「向听」。普通路径就是本站印出的最小值时，两个整数相差 1。他们的 0 是本站的 −1。他们的 1 是本站的 0。他们的 2 是本站的 1。把这手牌推进一步的那些牌，是同一批牌。训练上的整数是本站的。

记住这个错位的短办法：向听数的是走到听牌还要摸几张，替换数数的是走到和牌还要摸几张，向听等于那个替换数减 1。读论文时用这个错位。听牌的 13 张，训练答 0。

2019 的界说的是那另一个整数。他们的 Mahjong-0 里，任何一门的 14 张，不足数至多 3。他们的三门集合里，任何 14 张，不足数至多 6。那里的 Mahjong-0 是 4 面子 + 1 对。七对、两门限制、以及不同和牌不同分数，是那篇论文里的扩展，不是那些定理。那些界不是训练的按钮，也不是七对或国士的界。本页不声称下面任何一手是他们那个代价的最坏情况，也没有跑过他们的搜索。那个界，和训练的 6，是两句话。

立直在门前手上正好数这三种和牌形：4 面子 + 1 对、七对、国士。对立直的读者，印出的最小值是结构距离。它不是役的检查。没有役的副露手可以停在向听 0，仍然不能和。本页不计番。图注说这个数是结构上的，事情就做完了。问的是番时，见立直麻将。

听牌是 0

下面两手都是听牌。第一手的待牌是两种。第二手是五连张的三张填法。两手的数都是 0。宽度在听牌型详解和进张数计算。宽度不是第二份向听。

234万是面子，67万是两面。手里没有 5万，所以 456万还不是面子。5万把 67万补成 567。8万把 67万补成 678。两种待牌手里都没有，所以每一种贡献 4。训练上答 1 的人，数的是走到和牌的步数。按 2021 的定义，这副 13 张的不足数是 1，因为加进 5万或 8万就和成。分析器印出 0。训练判 0。

45678筒是两组，不是三组。456+78，或 678+45，各自用一面子加一副搭子。6筒完成 456，也完成 678，清单里 6筒仍然只有一次。五块理论才把这种标记当成整课。这里的标记只要解释这个数为什么已经是 0。11 张比 8 张宽。两手离和牌是同一段距离。

一向听是 1

一向听是摸进一张接受牌就到听牌。和牌是那之后的一步。在这副 13 张上把三步走完，再读这三步没有点名的那张清单。

雀头已经是 99条。234万、567筒、345条是三面子。这手离 4 面子 + 1 对还差一组。这个差额是 1。西和发不是组。它们仍然是接受牌，因为把其中任何一张配成对，第四组就以对子完成，另一张字留在旁边。第三张 9条也是接受牌，而且是 ×2，因为这对已经在手里。6条把数留在 1，并把种类从 3 提到 10。它是后面一节摸进来的那张改良。它不在这 8 张里。把改良加进进张合计，是进张那一页已经禁止的错。两张清单分开。

你将走到的听牌形，包括这两张字上的双碰，留在听牌型详解。本页停在距离。

二向听是 2

三副完成的顺子、没有对子，是两步，即便四张孤立的字看起来像材料。

123万、456筒、789条是三面子。东、南、西、北是浮牌。它们也是整张接受清单。把其中任何一张配成对，数就下降，因为这手还要雀头，新的一对就是那个雀头。数牌不降这个数。3筒和 7筒加宽下一张清单，向听留在 2。把四张字数成四块，再把这手叫成接近听牌，就跳过了 2。因为它们不是搭子就把字牌从接受清单上拿掉，就跳过了印出的 12 张。孤张不是一组。它仍然可以是你要摸的那张牌。

三步

普通手是 4 面子 + 1 对时，按这个次序读牌。五块理论就是这三步在看的那种标记。

1. 选一对候选当雀头，或决定还没有。若有好几对，留下那个数更小的读法。冻住你看见的第一对，会数过头。
2. 数离 4 面子 + 1 对 还差的组。完成的顺子或刻子是面子。搭子是朝向面子的一组：两面（两张相邻）、坎张（中间空一张），或边张（12 或 89）。孤张不是一组。隔一个数字的两张是坎张，不是两张浮牌。隔两个数字的两张，比如 1 和 4，不是搭子。
3. 停在四个面子位子。第五个候选不再减掉完整的一步。这个额度用完之后剩下的差额，就是普通路径的向听。

雀头已经选定之后，孤张只以单张去填剩下的位子，代价是摸一张。所以它不在组数里，却仍然可以出现在接受清单上。四个面子位子和雀头都已经有着落，同一张孤张就是余张：它在手里，又不在清单里。

这三步是用话说出来的普通路径。四种情形下，它们会写成错误的成品图注。

• 没有雀头，而搭子里的一张可以变成雀头。「你还要一对和一面子」数成两步。这手可以是一步。下一节量的就是这个。
• 桌上有超过四个块候选。第五个不再减掉完整的一步。起作用的是上限。
• 存在两种拆法。留下最小值。本页后面那手六对是尖锐的例子：普通读法是一步，七对已经听牌。
• 七对或国士更小。发表的数是那个最小值，不是单独的第 3 步。

字牌不成顺。三张一样是面子。两张一样可以是雀头，或朝向刻子的一对形的块。一张字是孤张，它靠配成对来接上。忘掉字牌的对子和字牌的刻子，是普通训练上常见的漏，因为那一档会发字牌。无字牌和双色的题目没有字可忘，它们也组不出国士，所以那条路径在那里很少是最小值。

没有对子，数仍然是 1

无雀头这个形的名字留在一向听。这里的课是距离。

123万是顺子。45678筒和 34789条各自是一面子加一副搭子。没有任何种类重复，所以没有对子可以提名为雀头。「没有雀头，所以还要一对和一面子，那就是 2」数过头了。把搭子里的一张配成对，或用最后那个位子去补上一副搭子，一张牌就到听牌。这 11 种就是那些填法。2021 的扩展会把这副 13 张叫成不足数 2，因为一次换牌走到他们的听牌。分析器印出 1。两种读法离和牌是同一段距离。训练判 1。

一张浮牌，却不是接受

余张是清单的性质。「看起来闲着」不是检验。标记接到五块理论，整数留在这里。

345万和 678万是顺子。23筒是两面，等 1筒和 4筒。89条是边张，等 7条，旁边是孤张 4条。东已经是雀头。两副搭子的填法就是整张清单。孤张 4条是三步数法拒绝叫成一组的那张余张，接受清单也同意。上面那手一向听里的西，是相反的事实：一张是种类的浮牌。浮着不决定。清单决定。

同一个数，两种宽度

训练对刚量过的两副 13 张都接受 1。它们不是同等的手。

37 对 12，是同一段距离。分析器的下一个问题，本页不回答，是哪副 13 张更宽，以及走到的待牌是什么。图注停在「两手都是一向听」，对本页是完整的。图注把它们叫成同等的手，就不是。进张数计算把张数搭起来。一向听打牌选择是数已经是 1 之后切什么。宽度不是一份新的向听。

已经和成是 −1

一副和成的 14 张，不是向听 0 的 13 张。这些牌里已经有和牌，所以到听牌的距离已经走过 0，本站给这个状态的名字是 −1。拿这副 14 张去问分析器，它不印 −1。它印一张切牌表。每一行是一次舍牌，行上的数是剩下的那 13 张。从一副真的和牌出发，每一次舍牌都留下听牌的 13 张，所以表上全是 0。把表上的 0 读成「这副 14 张是听牌」，就把和牌和听牌塌成同一个整数。这张表存在，就是为了让它们分开。

训练发 13 张，按钮判 0 到 6，没有 −1 按钮。把 −1 读成你已经握着的和牌。把 14 张读成切牌表。8 张或 11 张的片段也可以印出 −1，因为这个数是用屏幕上从不出现的字牌补完的。训练不发那些长度，那个 −1 也不是 13 张的答案。

四面子加一对，已经完成

顺子 234万和 567筒，顺子 345条和 678条，一对发。十四张，五组，没有剩下的。

这张表上没有任何一行抬高向听。排序的第一键在每一张牌上已经打平，所以由张数决定，3条和 8条以 11 领先。切掉 3条之后的 13 张在下面量。其余各行是切牌表上的张数合计。它们的种类清单没有重测，所以本页不附上一份。

45678条又是那段五连张，这次在条上，一对发仍然是雀头。这副 14 张里有两组条子顺子。舍掉 3条，留下相当于一组顺子的重叠，手牌听牌。14 张本身就是那两组顺子已经完成的和牌。

七对，已经完成

同样的空隙出现在七对的和牌上。七对是完成的形，所以这副 14 张是 −1。切牌表仍然拒绝这么说。

另外六刀在表上和这一刀打平。它们没有各自作为 13 张重测，所以它们的待牌留在本页外面。模式就是这副 13 张显示的：拆掉一对，等那一种，三张，因为这对里还有一张留在手里。国士有同样的 14 对 0 的空隙，在国士那一节量。

七对，作为它自己的路径

在它自己的牌上数这条路径。一种牌有两张或更多，就是一对。刻子是一对，不是两对。杠是一对，不是两对。单张要等你摸到它的伴，才填上一个对子位子。普通的三步看不见这条路径，在下面这些手上它们会数过头。

立直计七对。国标把七对计为特殊型，所以这条路径在那里也算。川麻只在包含七对的桌上计七对。下面的整数包含这条路径，因为分析器始终包含它。在省略这种牌型的桌上，不要把这些整数发表成好像最小值已经在关掉这条路径之后重算过。本页没有把它关掉。役种页是七对子。

普通读法仍然找得到事做。456 剥两次，88 留下当雀头，11 和 22 是朝向刻子的一对形的组，9万剩下。那种读法离听牌一步。训练把 1 判错。七对在 9万上已经听牌，还剩三张，所以印出的数是 0。

没有顺子可用：2万和 6万不相接，4条也不接 9条。拿一对当雀头，其余的对当一对形的组，然后停在四个面子位子。普通差额是 3。印出的数是 0，因为第六对加上单张北，就是七对听牌。和只有万的那手是同一事实，待牌是一张字，所以普通牌局跳不过它。

五对（22万、66万、33筒、44条、99条）和三张单张（南、北、白）。接受是「做成第六对」。三张单张加五对离听牌一步，因为单张还不是对。六对加一张单张，就是上一手的听牌形。这三张单张就是整张清单。

两条路径，一个数

普通形和七对都已经听牌时，待牌清单是每一张能完成这个最小值的牌。数仍然只有一个。

只按七对来读，看到的是 8万上的单骑，那是 3 张。印出的是 7。2万和 5万是 ×2，因为那些对已经在手里。两条路径都听牌，清单是并集。向听训练在读者只看见一条路径时仍然判 0。听牌训练要每一张和牌张，它不这么判。听牌型详解给这张清单起名。进张数计算里的规则是「不要把两条路径的张数加在一起，好像它们是两个向听数」。一手牌，一个最小值，一张清单。

国士，作为它自己的路径

这种牌型是立直的。国士要十三张幺九和字——每一门的 1 和 9，以及东、南、西、北、白、发、中——其中一种配成对。不是这十三种的牌，不计进这个形。即使规则不计它，产品也数这条路径。国标和川麻没有这种和牌。下面的侧记，在读者可能误读的手旁边，再把这句话说一次。副露的国士没有量过。这里每一串都是门前。

十三种幺九里有十二种在，1万是那一对。中是缺的那一种。待牌就是这一张。它不是十三幺那种、十三种里任何一种都能配成对的待牌。那种更宽的待牌，是下面这副 14 张的一刀切牌，本页不为它另贴一串牌。

幺九和字是同一套，只是中缺了，手里坐着一张 5万，而不是任何一种的第二张。没有对子。这手垃圾加幺九上，普通的组数是 8。印出的数是 1，因为国士只差一步。这 13 种是「把你已经持有的任何一张幺九或字配成对，或摸进缺的那张中」。5万哪一件都不做。答 8 的人停在 4 面子 + 1 对上。训练判 1。

一对 1万，2条代替了 9条，中仍然缺。因为幺九的对子已经在，这条路径不要另一对。它要的是缺的那两种。记住上一手「国士一向听有 13 种」的人，会答错宽度。数 1 是同一个。清单不是。8 张对 40 张，向听相同，是上面那张宽度表的国士版。

国士的和牌，以及留下 39 的那一刀

十三幺再加第二张 1万。那副 14 张是完成的国士，所以它是 −1。分析器印的是切牌。

从这副 14 张切掉中，留下上面量过的那副单骑 13 张，1 种、4 张，等中。其余不是 1万的切法，在表上对上那一行的 4 张。它们没有各自作为自己的 13 张打开，所以本页不贴十二份种类清单。切 1万是最佳行，39 张。那次舍牌留下十三幺听牌。剩下那手的种类清单是熟悉的十三面待牌，本页引用切牌表印出的张数合计，而不是第二串牌。

六，以及更近的一手

训练可以问 6。六是合法按钮。它是一副 13 张上的三路径最小值：没有对子，也没有两张能组成搭子的牌。它不是 2019 的不足数界。忽略七对的数法会把这手读得比 6 更远，训练不判那个更大的数。

1万、4万、7万，然后 2筒、5筒、8筒，然后 3条、6条、9条，以及四张风。没有对子。没有任何两张牌的序数差在 1 以内。这 13 种接受是「做成任何一对」，每种三张，这就是七对那一步：你完成的第一对，推动的是一只有七个单张或对子位子的手。普通的组数，每一张都是孤张、又没有七对那一步，会把这手读得比 6 更远。本页的答案是最小值。训练判 6。国士也不会把这一手拉下来：十三张幺九缺得太多，数牌也并不都是幺九。

同一副 13 张，是国标读者联想到全不靠的那种不靠形。在产品里它既不是和牌，也不是听牌。国标那一节为那句话再用一次这份印出。数 6 不变。

万和条是奇数，再加上 2468筒。没有字，没有对子。1万和 3万是坎张，不是两张浮牌。同样隔一张的连接穿过 3–5、5–7、7–9，也穿过另外两门。普通路径数这些组件，所以最小值是 4。七对在这手上是更差的读法，所以最小值跟着这些组走。「没有对子、也没有相邻的牌，就是 6」，只要存在一对隔一张的序数，就失败。

向听 4 的 79 张，比向听 6 的 39 张更宽，也更近。张数没有造出这个 4。结构造出的。比较两副不同的牌时，更低的向听仍然压过更大的张数。这里你不必选。更近的那手也是更宽的那手。

切完之后再数

13 张上，训练问的是这个数。14 张上，每一行是那次舍牌之后的 13 张。排序即使张数下降，也取更低的数。向听相同，然后张数更多，然后种类更多。本页给出向听这一键，以及一处张数差，然后把张数交给进张数计算。它不把两面和坎张再教一遍。

切掉多余的，拒绝 27 张

本页第一手听牌，再加一张孤张 9万。

多余的 9万，就是留下已经量过的那手听牌的那张。切 6万也是听牌，张数只有一半，所以它输在第二键。切 7万留在一向听，27 张。27 比 8 大，又远一步。第一键结束这次比较。种类数只为切 9万剩下的那手量过。4 张的听牌和向听 1 的各行，停在切牌表印出的张数合计上。

更低的向听，然后 20 对 17

连张 234567万，顺子 345筒，6789条，再加一张孤张南。

切 7万在表上和切 2万一样是 20 张。它没有重测，所以不继承这份种类清单。切 4万和切 5万是第二处差：向听 1，17 张。它们的种类也没有重测。向听这一页的工作停在「数对上了，所以下一键是张数」。20 压过 17。进张数计算管这个张数怎么搭。一向听打牌选择管你已经在向听 1 里面选择时切哪张。向听、张数、种类都打平时，剩下的是何切思路。那种完全的平局，这里没有当作单独的一点来量。

改良留住这个数

降低向听的牌是接受。留住向听、并提高种类数的牌是改良。产品的检验比「以后的待牌变好看了」更窄。种类数必须上升。向听 0 时清单是空的。本页开头的听牌手没有印出改良块。那里整件事就是待牌清单，它属于听牌型详解。

那手带西和发的一向听 13 张不含 6条。6条在那里是改良，到 10 种，而且它不是三种接受里的一种。把它加进来。

切发在切牌表上和西打平，16 张。它没有重测，所以不继承西的五种。摸牌之前，那副 13 张是向听 1、8 张。摸牌之后，切西或切发仍然是向听 1，而且是 16 张。切掉你刚摸进的那张是向听 2，37 张救不了它。这就是改良的操作含义。它不是旧的那副 13 张的接受，也不是下一张要舍的牌。切 9条那一行的 8 张只是张数合计。它不是旧的那副 13 张，本页也不把旧的种类清单附到它上面。

国标：这个数看不见的特殊牌型

国标。本站上的结构最小值不带标签。国标是否给那个形计分，这句话带标签。协会教学把不是 4 面子 + 1 对的和牌叫作特殊型。型听是最低番规则下的结构听牌。一向听，在那套词汇里，意思是离听牌一张牌，和本页上的距离词相同，不是第二套公式。这里没有算番，也没有把起和番用到任何结构上的 0。结构上的 0 不是「番够了」。

那套教学点名的特殊牌型包括七对，七对那一节已经数过，以及全不靠、七星不靠、组合龙，最小值里不含它们。七星不靠是七张字，加上 147 / 258 / 369 这种不靠里的七张数牌，而且没有对子。上面量过的国士是立直的牌型。它不是一条国标图注。不要把中的单骑读成国标听牌。

向听 6 那一节的不靠 13 张，是全不靠计划认得的形：147万、258筒、369条，以及四张风。分析器印出向听 6，13 种，39 张。全不靠计划不是「这手已经齐了」。这个 6 是还没有对子的手上的七对数字。它在产品里不是听牌，本页也不把它改印成国标的和牌。

切牌表留在 4 的一副组合龙形

147万、258筒、369条，东的刻子，南的对子。在国标称为特殊和牌的那种牌型下，这副 14 张是完成的。分析器没有那种牌型。

最佳行仍然是向听 4。这副 13 张握着两对字和九张不靠的单张，接受就是这九张单张，每种三张：再做成一对。这是分析器看得见的牌上的七对读法。它不是「离组合龙 4 步」，因为组合龙从未被计算。切南是更差的向听、更多的张数，5 对 4，30 对 27，排序同样拒绝。24 张的那些行没有重测，所以不继承这九种的清单。不要给任何一行盖上番的合计。不要把这 27 张叫成实质进张。国标麻将是规则页。这里的数仍是结构最小值。

川麻：结构上的 0 可以是不合法的和

川麻。房规不同。这里的读法跟随血战到底式的打法：108 张，没有字牌，没有吃，和牌合法之前先定缺，流局时查叫。练习里的一张 z 牌不是川麻的牌。国士不可能是川麻的路径。没有吃，所以不要把顺子的接受乘二，也不要引进国标的顺子权重。四川麻将是规则页。

定缺：缺门的牌还留着的时候，它就是要舍的牌，手也不能和。结构听牌若待牌就是这门，而且这门还有一张留在手里，就不是合法的和。

排序已经在切万。定缺万时，牌桌规则说的是同一件事，走到的听牌等的是手里还留着的那张万。

切 9万和切 8万打平，3 张。它没有重测。结构上的 0 是普通的听牌，而且它不是合法的和。33 张的一向听推不翻定缺。

定缺万已经清掉之后，还剩两门，待牌也不是缺门。

把这副 13 张和那手 8万听牌放在一起。两手都印出向听 0。一手还握着缺门，并且等它。另一手已经清掉万，待牌在留下的门里。「结构听牌」和「合法的和」是不同的行。没有吃，所以顺子的牌停在印出的张数上。

这两手上，七对仍然在分析器里面。在这两手上它不是最小值。一条川麻图注在使用前面的七对整数之前，仍然必须先说「计七对的桌子」。在不计七对的桌上，那些前面的整数不是重算过的距离。

流局时的查叫，由未听付给合法的听牌。它不付「向听更小」，也不付「进张更宽」。合法的听牌——向听 0，缺门已经走了——胜过一个只是看起来更近的不合法的 0。牌局进行中，还有牌可摸的时候，排序仍然偏好更低的向听。定缺决定这些牌里哪些你被允许留下。

练什么

方法是三步，然后另外两条路径，然后取最小值。上面这些手，就是人们会跳过其中某一步的那些情形。

1. 距离，包括 0 和 −1，在本页。听牌是 0。已经和成是 −1。数走到和牌的步数，会把听牌手标成 1，训练把那个判错。
2. 种类和只看手牌的张数，在进张数计算，一旦你知道哪些牌会让数下降。改良留在它自己的清单上。
3. 向听 1 的这一刀，在一向听打牌选择。组已经选定之后的孤张，在五块理论。
4. 向听、张数、种类都打平，在何切思路。
5. 待牌作为一种形，在听牌型详解，数已经是 0 之后。听牌训练要你说出每一张和牌张。
6. 那张桌子。立直麻将、国标麻将或四川麻将。一句立直、国标或川麻，只带进它点名的那种规则。

在向听训练里回答一副 13 张的向听。长度停在 13。没有 7 张的题，也没有 10 张的题。计时模式是 15 秒。按钮是 0 到 6，或同样的数字键。普通含字牌。无字牌是万、筒、条。双色是万和筒。题目是真实的花色，不是把一门手重新涂成三门。答案是 4 面子 + 1 对、七对、国士三者的最小值。无字牌和双色组不出国士，所以那条路径在那里很少是最小值。

本页要挡住的漏，就是训练见得最多的那些：把听牌叫成 1，数走到和牌的步数，在普通里忘掉字牌的对子和字牌的刻子，以及三条路径只看一条。向听 0 时，去点名待牌。向听 1 时，去选进张。整数留在这里。